群的直积

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群的直积

定理

• 设 \(H,K\) 是 \(G\) 的子群, 则在映射 \(\sigma:(h,k)\mapsto hk\) 下, \(H\times K\cong G\) 当且仅当:
  (1) \(G=HK\);
  (2) \(H\cap K=\{e\}\);
  (3) \(H\) 中每个元素和 \(K\) 中每个元素可交换.

注

• 上述定理中第三个条件并不等价于 \(HK=KH\).